天籁数学——数列篇(2)

 542  2012/09/10 00:21:00

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     这篇就扯一下等差数列,只要看到等差数列,就应该有条件反射的想起它的”基本性质”,“扩充性质”和“判定方法”,之后俺们就可以对

相应的题目进行秒杀。

一:基本性质

     1:通项公式:         an=a1+(n-1)d;

     2:  前n项和公式:    Sn=n(a1+an)/2;

                                 Sn=na1+nd(n-1)/2;

二: 判定方法

    1:  an+1 -an=d(常数)          =>    {an}是等差数列。

    2:2an+1=an+an+2           =>    {an}是等差数列。

    3:  an=kn+b (k,b为常数)      =>    {an}是等差数列。 当然这个是将通项公式变形为一次函数,原型为: an=nd+(a1+d)。

    4:Sn=An2+Bn(A,B为常数)  =>    {an}是等差数列。 原理同上,将前N项和公式变形为一元二次函数。

 

三:扩充性质

    1:  an=am+(n-m)d              => 这个公式得益于an和am的通向公式相减。 

                                                     比如:a9=a7+2d。

    2:  若m+n=l+r                    => am+an=al+ar。      

                                                    比如:a1+a8=a2+a7

   3: (n+1)an-nan=d(常数)     =>  {nan}是等差数列。

   4: 若an为等差数列,则数列{λan+b}(λ,b为常数)是公差为λd的等差数列。

                                                    比如:{3an+2} 的数列公差为3d。

   5:  若an,bn都为等差数列,则{λ1an+λ2bn}(λ1,λ2为常数)是公差为λ1d1+λ2d2的等差数列。

                                                    比如:{2an+3bn}的数列公差为2d1+3d2。

   6: 若an为等差数列,则 ak,ak+m,ak+2m也仍然为等差数列,公式为md。

   

四:几种模型问题

   1: 我们知道an-an-1=d(常数)就认为是{an}是等差数列,当d=bn这样的一个变量的时候该如何处理,模型为an-an-1=bn

        证明:  由倒序相加法逆推可知,an-a1=(an-an-1)+(an-1-an-2)+...+(a2-a1)

                                                        =bn+bn-1+...+b2 

                                       

            

        具体的例子有: 若a1=1,an=an-1+4n,求an的问题。

   2:数列的一阶特征方程【对an=pan-1+q(p!=+-1,q!=0)】的递推公式的通用解法

        比如”猴子吃桃“问题的通项公式为:an=2an-1+2的通用解法如下:

        ①:通过模型对比,可知: p=2,q=2。

        ②:将an,an-1替换为x。求出{an}数列的特征根x。

            则    x=2x+2

            =>  x=-2

        ③:代入an的通用模型公式:     an-x=(a1-x)pn-1

                                         =>     an+2=(1+2)*2n-1

                                         =>     an=3*2n-1-2  (哈哈,是不是很神奇,对这种模型我们现在有了通用解法,秒杀秒杀)

五:几个小实际应用

      有了这些神器,等差数列的问题相信我们有了比较扎实的基础了,已经不怕不怕了。

1:甲乙两个物体分别从相距70m的两处同时相向运动,甲第1min走2m,以后每分钟比前1min多走1m,乙每分钟走5m。

    (1)  甲乙开始运动后几分钟相遇。 

    (2)  如果甲乙达到对方起点后立即折返,甲继续每分钟比前1min多走1m,乙继续每分钟走5m,那么开始运动几分钟后

          第二次相遇。

解答:

     <1>     其实第一小题如果看的出来是等差数列,那么这个问题基本就解决出来一半了。

                甲: 其实是a1=2,d=1的等差数列,则甲在nmin内走了 2n+n(n-1)/2。

                乙: 在nmin内走了5n。

                =>  2n+n(n-1)/2+5n=70

                => n=7 or n=-20(舍去)

               最后我们知道在min=7的时候第一次相遇。

    <2>     将n=7代入甲可知a7=8,则第二次相遇时以a8=9为首项,记为bn

                则甲在这kmin内运动距离和为: 9k+k(k-1)/2。

                则乙在kmin内运动距离还是为5k。

                => 9k+k(k-1)/2+5k=70*2

                => k=8 or k=-35(舍)

当然这个问题我们也可以用code去实现,当然什么样的知识程度决定了复杂度。

 

2:用分期付款的方式购买了家用电器一件,价格为1150元,购买当天先付150元,以后每月这一天都付50元,并加付欠款利息,

     月利息1%,利息不计入欠款,若交付150元以后的第一个月开始算分期付款的第一个月,问全部付款完后,买这件家电实际

     花了多少钱?

解答:

    当然这套题仔细一分析还是一套等差数列的题目,付了150元后,余款的1000需要分期付款,每月50元,所以20次就可以付

清了,我们只要求S20即可。

       a1=50+1000 * 0.1=60

       a2=50+(1000-50)=59.5

       ...

       an=50+(1000-(n-1)*50)

  则{an}是以a1=60,d=-0.5为公差的等差数列。 

  则 S=S20+150={20*[60+(60-19*0.5)]/2}+150=1255

  最后我们也就得出了全部付款后需要总额1255元。

 

关于等差数列的实际应用太多太多,平时练习的题目都是直接揭露本质,不被这些文字糖所包裹...

 

本文转自:http://www.cnblogs.com/huangxincheng/archive/2012/09/10/2678142.html